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数学文化之“蛋糕的奇异切法”

关键词:   发布时间:2019-11-08 08:00:01


及简教育 至繁归于至简


 

 琼斯先生与他的妻子、10多岁的儿子及7岁的女儿苏珊共进晚餐。


 今天是苏珊的生日,琼斯太太特地做了一个长方形蛋糕。蛋糕长、宽均为20厘米,高为5厘米,上面和周围四面是一层奶油。


 “噢,多么美妙的蛋糕!”琼斯先生说,“刚好够我们大家分享。我要先给苏珊切一块,因为她就快7岁了。我要分别从两边距角顶7厘米处开始向中心切。”


 切下的一块形状很不规则,苏珊看到之后便开始抱怨起来:“您给我切的这块不够啊,爸爸,它不到整块蛋糕的四分之一,而且奶油也不够。”


 她哥哥不同意了,“你太贪心了,苏珊,我觉得爸爸分给你的太多了,你应该拿回来一些。”


 琼斯先生说:“别争了,你们俩都不对。我切下这块正好是整个蛋糕的四分之一,而且奶油也一点不差。”你知道琼斯先生为什么这么说吗?


 其实,只要你延长蛋糕上的两道切痕,经过中心后直至对面,那么显而易见蛋糕被分成了一模一样的四块,也就是全等的四块。对吧?


蛋糕的切法

切蛋糕的方法问题很容易推广到一般的正多边形上。例如,一个蛋糕是正三角形的,那么从这个蛋糕的中心向外切两刀,保证两条切痕之间的夹角是360°÷3=120°,如下图所示:

切下的这块就一定是整块的三分之一。画一根虚线可以把问题看得更清楚。再比如一个蛋糕是正五边形的,那么两条切痕之间的夹角就应该是360°÷5=72°,就能保证切下这块是整块的五分之一。如果蛋糕是正六边形的,两刀切痕之间的角度便是360°÷6=60°,使切下的这块是整块的六分之一。


这种切法可以推广到任意正多边形,当然有时两刀切痕之间的角度不一定是整数。


像这样把一个正方形分成全等的4块,这是数十年来就有的剖分问题。但如果你把已分割下来的4块给你的朋友,让他拼成一个正方形,一般来说他会感到困难。如果他能拼成一个正方形,那么你再让他用这4块拼成两个正方形。这个问题多少耍了一点花招,因为只有像这样拼才能解答这个问题。


这样拼的结果是外框是正方形,中央是一个正方形的孔洞。这个孔洞的大小取决于每一刀的刀痕与原正方形的边所形成的角度的大小。如果这个角度是90°,那么孔洞是零;如果这个角度是45°,那么孔洞就达到它的最大状态。

                                     (节选自《啊哈,灵机一动》)



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